Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一條準線為x=-4，且與拋物線y²=8x有相同的焦點．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設點P是該橢圓的左準線與x軸的交點，過點P的直線l與橢圓相交于M、N兩點，且線段MN的中點恰好落在由該橢圓的兩個焦點、兩個短軸頂點所圍成的四邊形區域內（包括邊界），求此時直線l斜率的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）依題意，得

a2

c

=4，且c=2，
可求得a=2

2

，b=2，
易知橢圓的方程為

x2

8

+

y2

4

=1；
（Ⅱ）橢圓的左準線方程為x=-4，點P的坐標（-4，0），
顯然直線l的斜率k存在，所以直線l的方程為y=k（x+4）．
設點M、N的坐標分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂）線段MN的中點為E（x₀，y₀），
將y=k（x+4）代入橢圓，得（1+2k²）x²+16k²x+32k²-8=0．①
由△=（16k²）²-4（1+2k²）（32k²-8）＞0解得k2＜

1

2

．②
x1+x2=-

16k2

1+2k2

，
于是x0=

x1+x2

2

=-

8k2

1+2k2

，y0=k(x0+4)=

4k

1+2k2

，
因為x0=-

8k2

1+2k2

≤0，所以點E不可能在y軸的右邊，
又直線F₁B₂、F₁B₁，方程分別為y=x+2，y=-（x+2），
則必有

y0≤x0+2 y0≥-x0-2

，
即

4k 1+2k2 ≤- 8k2 1+2k2 +2 4k 1+2k2 ≥ 8k2 1+2k2 -2

，
亦即

2k2+2k-1≤0 2k2-2k-1≤0

．
解得-

3 -1

2

≤k≤

3 -1

2

，此時②也成立．