Question

 [2012·課標(biāo)全國卷] 如圖1－4，三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，側(cè)棱垂直底面，∠ACB＝90°，AC＝BC＝AA₁，D是棱AA₁的中點．

(1)證明：平面BDC₁⊥平面BDC；

(2)平面BDC₁分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比．

圖1－4

Answer 1

解：(1)證明：由題設(shè)知BC⊥CC₁，BC⊥AC，CC₁∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC₁A₁.

又DC₁⊂平面ACC₁A₁，所以DC₁⊥BC.

由題設(shè)知∠A₁DC₁＝∠ADC＝45°，所以∠CDC₁＝90°，即DC₁⊥DC.又DC∩BC＝C，所以DC₁⊥平面BDC.又DC₁⊂平面BDC₁，故平面BDC₁⊥平面BDC.

(2)設(shè)棱錐B－DACC₁的體積為V₁，AC＝1.由題意得

V₁＝××1×1＝.

又三棱柱ABC－A₁B₁C₁的體積V＝1，

所以(V－V₁)∶V₁＝1∶1.

故平面BDC₁分此棱柱所得兩部分體積的比為1∶1.