Question

已知函數f（x）=x³+（1-a） x²-a（a+2）x+b（a，b∈R）．
（I）若函數f（x）的圖象過原點，且在原點處的切線斜率是-3，求a，b的值；
（Ⅱ）若函數f（x）在區間（-1，1）上不單調，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先求導數：f'（x）=3x²+2（1-a）x-a（a+2），再利用導數求出在x=-1處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率．列出關于a，b等式解之，從而問題解決．
（Ⅱ）根據題中條件：“函數f（x）在區間（-1，1）不單調，”等價于“導函數f'（x）在（-1，1）既能取到大于0的實數，又能取到小于0的實數”，由于導函數是一個二次函數，有兩個根，故問題可以轉化為到少有一根在在區間（-1，1）內，先求兩根，再由以上關系得到參數的不等式，解出兩個不等式的解集，求其并集即可；
解答：解析：（Ⅰ）由題意得f'（x）=3x²+2（1-a）x-a（a+2）
又，
解得b=0，a=-3或a=1
（Ⅱ）函數f（x）在區間（-1，1）不單調，等價于
導函數f'（x）[是二次函數]，在（-1，1有實數根但無重根．
∵f'（x）=3x²+2（1-a）x-a（a+2）=（x-a）[3x+（a+2）]，
令f'（x）=0得兩根分別為x=a與x=
若a=即a=-時，此時導數恒大于等于0，不符合題意，
當兩者不相等時即a≠-時
有a∈（-1，1）或者∈（-1，1）
解得a∈（-5，1）且a≠-
綜上得參數a的取值范圍是（-5，-）∪（-，1）
點評：本小題主要考查函數單調性的應用、函數奇偶性的應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．