Question

已知數列{a_n}和{b_n}滿足a₁=b₁，且對任意n∈N^*都有a_n+b_n=1，．
（1）求數列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）證明：．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據對任意n∈N^*都有a_n+b_n=1，，，進行變形可得，構造等差數列，即可求出其通項公式，進而求得數列{a_n}的通項公式，并代入可求得{b_n}的通項公式；
（2）對于不等式的右邊，可以構造函數f（x）=ln（1+x）-x，，利用導數求出函數的單調性和最值，即可證得結論；對于不等式的左邊，構造函數，利用導數求出函數的單調性和最值，即可證得結論．
解答：（1）解：∵對任意n∈N^*都有a_n+b_n=1，，
∴．
∴，即．
∴數列是首項為，公差為1的等差數列．
∵a₁=b₁，且a₁+b₁=1，
∴a₁=b₁=．
∴．
∴，，
（2）證明：∵，，∴．
∴所證不等式，
即．
①先證右邊不等式：．
令f（x）=ln（1+x）-x，則．
當x＞0時，f′（x）＜0，
所以函數f（x）在[0，+∞）上單調遞減．
∴當x＞0時，f（x）＜f（0）=0，即ln（1+x）＜x．
分別取．
得．
即．
也即．
即．
②再證左邊不等式：．
令，則．
當x＞0時，f′（x）＞0，
所以函數f（x）在[0，+∞）上單調遞增．
∴當x＞0時，f（x）＞f（0）=0，即．
分別取．
得．
即．
也即．
即．
∴．
點評：此題是個難題．考查根據數列的遞推公式利用構造法求數列的通項公式，及數列的求和問題，題目綜合性強，特別是問題（2）的設置，數列與不等式恒成立問題結合起來，能有效考查學生的邏輯思維能力和靈活應用知識分析解決問題的能力，體現了轉化的思想和分類討論的思想．