Question

已知實數(shù)a，b∈R⁺，a+b=1，M=2^a+2^b，則M的整數(shù)部分是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：由a，b∈R⁺，a+b=1，M=2^a+2^b，可將M=2^a+2^b，轉(zhuǎn)化為：M=2^a+

2

2a

，根據(jù)a∈（0，1）可求得M的取值范圍，從而可求得M的整數(shù)部分，繼而得到答案．

解答：解：∵a，b∈R⁺，a+b=1，
∴b=1-a，
∴M=2^a+2^b=，2^a+

2

2a

，a∈（0，1）
令t=2^a，a∈（0，1），則t∈（1，2），M=t+

2

t

，t∈（1，2）．
∵M=t+

2

t

在（1，

2

]上單調(diào)遞減，在[

2

，2）上單調(diào)遞增，
∴M_min=

2

+

2

2

=2

2

，當t=1或t=2，M=3，
∴2

2

≤M＜3．
故選B．

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，難點在于對“雙鉤函數(shù)M=t+

2

t

（由于t∈（1，2），在這里是“單鉤“）”性質(zhì)的掌握與應用，屬于中檔題．