Question

已知橢圓+=1（a＞b＞0）的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓短半軸長為半徑的圓與y=x+2相切．
（1）求a與b；
（2）設(shè)該橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F₁和F₂，直線l過F₂且與x軸垂直，動直線l₂與y軸垂直，l₂交l₁與點(diǎn)P．求PF₁線段垂直平分線與l₂的交點(diǎn)M的軌跡方程，并說明曲線類型．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意以原點(diǎn)為圓心，橢圓短軸長為半徑的圓與y=x+2相切．圓心到直線的距離等于半徑，以及離心率解得a與b．
（2）求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出P求出N，再設(shè)M、（x，y），利用垂直關(guān)系可求得軌跡方程．
解答：解：（1）e=，∴=，
又b==，∴a=，b=．
（2）由（1）知F₁，F(xiàn)₂分別為（-1，0），（1，0），
由題意可設(shè)P（1，t），（t≠0）那么線段PF₁中點(diǎn)為N（0，），
設(shè)M（x，y）是所求軌跡上的任意點(diǎn)，由=（-x，-y），=（-2，-t）
則，
消t得y²=-4x（x≠0）其軌跡為拋物線除原點(diǎn)的部分．
點(diǎn)評：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，軌跡方程，橢圓的性質(zhì)等知識，是綜合性較強(qiáng)的題目．