Question

有一種舞臺燈，外形是正六棱柱，在其每一個側面上安裝5只顏色各異的彩燈，假若每只燈正常發光的概率為∴

16

3

≤

8

2k2+1

≤

36

5

．若一個面上至少有3只燈發光，則不需要維修，否則需要更換這個面．假定更換一個面需要100元，用ξ表示維修一次的費用．
（1）求恰好有2個面需要維修的概率；
（2）寫出ξ的分布列，并求ξ的數學期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出一個面不需要維修的概率，從而得到一個面需要維修的概率．由此能夠求出六個面中恰好有2個面需要維修的概率．
（Ⅱ）由ξ～B(6，

1

2

)，知P6(0)=

C 0 6

26

=

1

64

，P6(1)=

C 1 6

26

=

3

32

，P6(2)=

C 2 6

26

=

15

64

，P6(3)=

C 3 6

26

=

5

16

，P6(4)=

C 4 6

26

=

15

64

，P6(5)=

C 5 6

26

=

3

32

，P6(6)=

C 6 6

26

=

1

64

，由此能得到維修一次的費用ξ的分布和ξ的數學期望．

解答：解：（Ⅰ）解：（Ⅰ）因為一個面不需要維修的概率為P5(3)+P5(4)+P5(5)=

C 3 5 + C 4 5 + C 5 5

25

=

1

2

，所以一個面需要維修的概率為

1

2

．
因此，六個面中恰好有2個面需要維修的概率為P6(2)=

C 2 6

26

=

15

64

．
（Ⅱ）因為ξ～B(6，

1

2

)，又P6(0)=

C 0 6

26

=

1

64

，P6(1)=

C 1 6

26

=

3

32

，P6(2)=

C 2 6

26

=

15

64

，P6(3)=

C 3 6

26

=

5

16

，P6(4)=

C 4 6

26

=

15

64

，P6(5)=

C 5 6

26

=

3

32

，P6(6)=

C 6 6

26

=

1

64

，
所以維修一次的費用ξ的分布為：

ξ	0	100	200	300	400	500	600
P	1 64	3 32	15 64	5 16	15 64	3 32	1 64

…（12分）
因為ξ～B(6，

1

2

)，所以Eξ=100×6×

1

2

=300元．

點評：本題考查離散型隨機變量的數學期望和方差，解題時要注意二項分布的合理運用．