Question

設F₁、F₂是離心率為

5

的雙曲線

x2

a2

-

y 2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左、右兩個焦點，若雙曲線右支上存在一點P，使(

OP

+

OF2

)•

F2P

=0（O為坐標原點）且|PF₁|=λ|PF₂|則λ的值為（　　）

A．2

B． 1 2

C．3

D． 1 3

Answer 1

取PF₂的中點A，則

OP

+

OF2

=2

OA

，
∵(

OP

+

OF2

)•

F2P

=0，∴2

OA

•

F2P

=0，
∴

OA

⊥

F2P

，由 OA 是△PF₁F₂的中位線，
∴PF₁⊥PF₂，OA=

1

2

PF₁． 
由雙曲線的定義得|PF₁|-|PF₂|=2a，
∵|PF₁|=λ|PF₂|，∴|PF₂|=

2a

λ-1

，|PF₁|=λ•

2a

λ-1

．
△PF₁F₂中，由勾股定理得|PF₁|²+|PF₂|²=4C²，
∴(λ•

2a

λ-1

)2+(

2a

λ-1

)2=4c²，
又

c

a

=

5

，∴(

1

λ-1

) 2•(λ2+1) = 5，∴λ=2，
故選A．