Question

已知拋物線y²=8x的準(zhǔn)線與雙曲線相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)，若雙曲線的一條漸近線方程是，且△FAB是直角三角形，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：先根據(jù)拋物線方程求得準(zhǔn)線方程，代入雙曲線方程求得y，根據(jù)漸近線方程求出a與b的關(guān)系，根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性可知△FAB為等腰直角三角形，進(jìn)而可求得A或B的縱坐標(biāo)為4，進(jìn)而求得a和b，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得．
解答：解：依題意知拋物線的準(zhǔn)線x=-2．代入雙曲線方程得
y=±．雙曲線的一條漸近線方程是，
∴則不妨設(shè)A（-2，），F(xiàn)（2，0）
∵△FAB是等腰直角三角形，
∴=4，解得：a=，b=4
∴c²=a²+b²=2+16=20，
∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是
故選C
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是通過(guò)雙曲線的對(duì)稱性質(zhì)判斷出△FAB為等腰直角三角形，屬于基礎(chǔ)題．