Question

已知函數，.

(Ⅰ) 求函數在點處的切線方程；

(Ⅱ) 若函數與在區間上均為增函數,求的取值范圍；

(Ⅲ) 若方程有唯一解,試求實數的值.

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ)

【解析】

試題分析：(Ⅰ)因為,所以切線的斜率

       2分

又,故所求切線方程為,即             4分

(Ⅱ)因為,又,所以當時,；當時, .

即在上遞增,在上遞減    5分

又,所以在上遞增,在上遞減      6分

欲與在區間上均為增函數,則,解得    8分

(Ⅲ) 原方程等價于,令,則原方程即為.                 9分

因為當時原方程有唯一解,所以函數與的圖象在軸右側有唯一的交點          10分

又,且，

所以當時,，函數單調遞增；當時, ，函數單調遞減.

故在處取得最小值．                                   12分

從而當時原方程有唯一解的充要條件是．     13分

考點：函數單調性最值

點評：第一問利用導數的幾何意義可求出切線斜率，進而得到直線方程，由導數大于零可求得增區間，導數小于零可得減區間，第三問將方程有一個根轉化為兩函數圖像只有唯一交點，結合圖像需求函數最值