Question

（2013•浙江模擬）已知正實數(shù)x，y滿足lnx+lny=0，且k（x+2y）≤x²+4y²恒成立，則k的取值范圍是

k≤

2

．

Answer 1

分析：由lnx+lny=0得，xy=1，分離出參數(shù)k后不等式變?yōu)閗≤（x+2y）-

4

x+2y

，令m=x+2y，則問題轉化為k≤(m-

4

m

)min，由基本不等式可求得m范圍，根據(jù)y=m-

4

m

的單調(diào)性可求得其最小值，從而得到k的取值范圍．

解答：解：由lnx+lny=0得，xy=1，
k（x+2y）≤x²+4y²，即k≤

x2+4y2

x+2y

=

(x+2y)2-4

x+2y

=(x+2y)-

4

x+2y

，
令m=x+2y，則k≤(m-

4

m

)min，
因為m=x+2y≥2

2xy

=2

2

，且y=m-

4

m

在[2

2

，+∞）上遞增，
所以m=2

2

時，(m-

4

m

)min=2

2

-

4

2 2

=

2

，
所以k≤

2

，
故答案為：k≤

2

．

點評：本題考查函數(shù)單調(diào)性、基本不等式等知識，考查恒成立問題，考查函數(shù)思想，轉化為函數(shù)最值問題是解決恒成立問題的常用方法．