Question

【題目】設{an}是公比大于1的等比數列，Sn為數列{an}的前n項和．已知S3=7，且a1+3，3a2 ， a3+4構成等差數列．
（1）求數列{an}的通項公式．
（2）令bn=lna3n+1 ， n=1，2，…，求數列{bn}的前n項和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知得

解得a2=2．

設數列{an}的公比為q，由a2=2，

可得 ．

又S3=7，可知 ，

即2q2﹣5q+2=0，

解得

由題意得q＞1，

∴q=2，

∴a1=1．故數列{an}的通項為an=2n﹣1

（2）解：由于bn=lna3n+1，n=1，2，

由（1）得a3n+1=23n，

∴bn=ln23n=3nln2，又bn+1﹣bn=3ln2，

∴{bn}是等差數列．

∴Tn=b1+b2++bn

=

=

= ．

故

【解析】（1）由{an}是公比大于1的等比數列，S3=7，且a1+3，3a2 ， a3+4構成等差數列，我們不難構造方程組，解方程組即可求出相關基本量，進而給出數列{an}的通項公式．（2）由bn=lna3n+1 ， n=1，2，…，我們易給出數列{bn}的通項公式，分析后可得：數列{bn}是一個等差數列，代入等差數列前n項和公式即可求出Tn
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等比數列的通項公式（及其變式）的相關知識，掌握通項公式：，以及對數列的前n項和的理解，了解數列{an}的前n項和sn與通項an的關系．