Question

已知數列{a_n}是等差數列，a₅=5，若（6-a₁）=a₂+a₃，且A、B、C三點共線（O為該直線外一點）；點列（n，b_n）在函數x的反函數的圖象上．
（1）求a_n和b_n；
（2）記數列C_n=a_nb_n+b_n（n∈N^*），若{C_n}的前n項和為T_n，求使不等式成立的最小自然數n的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用三點共線的結論，可得6-a₁=a₂+a₃，結合a₅=5，求出首項與公差，可求a_n；利用點列（n，b_n）在函數x的反函數的圖象上，可求b_n；
（2）確定數列的通項，利用錯位相減法求和，即可求得結論．
解答：解：（1）設數列{a_n}的公差為d，則
∵（6-a₁）=a₂+a₃，且A、B、C三點共線，
∴由三點共線的條件，可得6-a₁=a₂+a₃，∴a₁+d=2，
∵a₅=5，∴a₁+4d=5，
∴d=1，a₁=1，
∴a_n=n；
∵點列（n，b_n）在函數x的反函數的圖象上
∴；
（2）C_n=a_nb_n+b_n=，
∴T_n=，
∴T_n=
兩式相減，可得T_n==
∴T_n=
∴3-T_n=
∴等價于
∴n＞6
∴使不等式成立的最小自然數n的值為7．
點評：本題考查數列的通項與求和，考查數列與不等式的聯系，確定數列的通項，正確求和是關鍵．