Question

已知△ABC的周長為

2

+1，且sinB+sinC=

2

sinA．
（Ⅰ）求邊BC的長；
（Ⅱ）若△ABC的面積為

1

6

sinA，求△ABC的面積S．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設出三角形的三邊長分別為a，b，c，根據已知的周長表示出關于a，b，c的關系式，記作②，利用正弦定理化簡已知的等式，得到關于a，b，c的關系式，記作①，把①代入②即可求出a的值，進而BC的值；
（Ⅱ）利用三角形的面積公式表示出△ABC的面積S，與已知的面積相等得到一個等式，化簡可得bc的值，由（Ⅰ）中的①和a的值求出b+c的值，利用余弦定理表示出cosA，變形后把b+c，bc以及a的值代入即可求出cosA的值，由A的范圍，利用特殊角的三角函數值求出A的度數，將sinA的值代入已知的面積S=

1

6

sinA中即可求出△ABC的面積．

解答：解：（Ⅰ）在△ABC中，由sinB+sinC=

2

sinA及正弦定理得：b+c=

2

a①（3分）
又周長a+b+c=

2

+1②，
由①②聯立解得：a=1，即BC=1；（6分）
（Ⅱ）△ABC的面積S=

1

2

bcsinA，即

1

2

bcsinA=

1

6

sinA，所以bc=

1

3

，（8分）
又結合（Ⅰ）知，b+c=

2

+1-a=

2

，
∴在△ABC中由余弦定理得：
cosA=

b2+c2-a2

2bc

（10分）
=

(b+c)2-2bc-a2

2bc

=

( 2 )2-2× 1 3 -1

2× 1 3

=

1

2

，（12分）
又△ABC的內角A∈（0，π），所以A=

π

3

，（13分）
所以△ABC的面積S=

1

6

sinA=

1

6

×sin

π

3

=

3

12

．（15分）

點評：此題綜合考查了正弦、余弦定理以及三角形的面積公式．本題的關鍵是第（Ⅱ）中靈活變換cosA的表達式，注意整體代入方法的運用．同時要求學生善于發現兩問之間的聯系，從而建立已知與未知之間的關系．