Question

如圖，直三棱柱ABC-A′B′C′的側棱AA′=4，底面三角形ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是AB的中點．
（Ⅰ）求證：CD⊥AB′；
（Ⅱ）求二面角A′-AB′-C的大小．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據等腰三角形可知CD⊥AB，而三棱柱ABC-A′B′C′是直三棱柱，則平面ABC⊥平面ABB′A′，根據面面垂直的性質定理可知CD⊥平面ABB′A′，而AB′?平面ABB′A′，最后根據線面垂直的性質可得CD⊥AB′．
（Ⅱ）CD⊥平面ABB′A′，過D作DE⊥AB′，垂足為E，連接CE，由三垂線定理可知CE⊥AB′，根據二面角平面角的定義可知∠CED是二面角B-AB'-C的平面角，在三角形CEO中求出此角即可，而二面角A′-AB′-C與二面角B-AB′-C的大小互補，即可求出所求．
解答：解：（Ⅰ）證明：因為AC=BC，D是AB的中點，所以CD⊥AB．
由已知，三棱柱ABC-A′B′C′是直三棱柱，
所以平面ABC⊥平面ABB′A′．
所以CD⊥平面ABB′A′．
又因為AB′?平面ABB′A′，
所以CD⊥AB′．（6分）
（Ⅱ）解：由（1）知CD⊥平面ABB′A′．
過D作DE⊥AB′，垂足為E，連接CE．
由三垂線定理可知CE⊥AB′，
所以∠CED是二面角B-AB'-C的平面角．
由已知可求得，，
所以．
所以二面角B-AB′-C的大小為．
由于二面角A′-AB′-C與二面角B-AB′-C的大小互補，
所以二面角A′-AB′-C的大小為．（13分）
點評：本題主要考查了面面垂直的性質、線面垂直的性質，以及二面角的度量，同時考查了計算與推理的能力，屬于中檔題．