Question

8．如圖，直線y=kx將拋物線y=x-x²與x軸所圍圖形分成面積相等的兩部分，則k=1-$\frac{\root{3}{4}}{2}$．

Answer 1

分析 先由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y=x-{x}^{2}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1-k}\\{y=k-{k}^{2}}\end{array}\right.$，根據直線y=kx分拋物線y=x-x²與x軸所圍成圖形為面積相等的兩個部分得${∫}_{0}^{1-k}$[（x-x²）-kx]dx=$\frac{1}{2}$∫₀¹（x-x²）dx，下面利用定積分的計算公式即可求得k值

解答 解：由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y=x-{x}^{2}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1-k}\\{y=k-{k}^{2}}\end{array}\right.$，由題意得${∫}_{0}^{1-k}$[（x-x²）-kx]dx=$\frac{1}{2}$∫₀¹（x-x²）dx，
解得$k=1-\root{3}{\frac{1}{2}}=1-\frac{\root{3}{4}}{2}$．
故答案為：1-$\frac{\root{3}{4}}{2}$．

點評 本題考查定積分的應用；研究平面圖形的面積的一般步驟是：（1）畫草圖；（2）解方程組，求出交點坐標；（3）確定被積函數及上、下限；（4）進行計算