【題目】已知橢圓
的上頂點為A，右焦點為F，O是坐標原點，
是等腰直角三角形，且周長為
.
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線l與AF垂直，且交橢圓于B，C兩點，求
面積的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）依題意求出
，
，
的值，即可求出橢圓方程；
（2）由（1）可得直線
的斜率，則可設直線
的方程為
，
聯立直線與橢圓方程，利用根的判別式求出參數
的范圍，設
，
，利用韋達定理及點到線的距離公式表示出
及點
到直線的距離
，則
利用導數求出面積的最值；
解：（1）在
中，
，
，則
，
因為是等腰直角三角形，且周長為
，
所以
，
，
，
得
，
，
因此橢圓的方程為.
（2）由（1）知
，
，則直線的斜率
，
因為直線與垂直，所以可設直線的方程為，
代入，得
，
則
，解得
，
所以
.
設，，則
，
，
.
又點到直線的距離
，
所以，.
令
，
則
，
令
，則
或
，
令
，則
或
.
因此
在
上是增函數，在
上是減函數，
在
上是增函數，在
上是減函數.
因為
，
，
，
所以當
時，取得最大值，
，
所以
，
因此
面積的最大值是.
名師導航單元期末沖刺100分系列答案
名校名卷單元同步訓練測試題系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知數列
，其中
．
（1）若滿足
．
①當
，且
時，求
的值；
②若存在互不相等的正整數
，滿足
，且
成等差數列，求
的值．
（2）設數列的前
項和為
，數列
的前n項和為
，
，，若，
，且
恒成立，求
的最小值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某學生為了測試煤氣灶燒水如何節省煤氣的問題設計了一個實驗，并獲得了煤氣開關旋鈕旋轉的弧度數
與燒開一壺水所用時間
的一組數據，且作了一定的數據處理（如表），得到了散點圖（如圖）.
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1.47 | 20.6 | 0.78 | 2.35 | 0.81 | -19.3 | 16.2 |
表中
，
.
（1）根據散點圖判斷，
與
哪一個更適宜作燒開一壺水時間關于開關旋鈕旋轉的弧度數的回歸方程類型？（不必說明理由）
（2）根據判斷結果和表中數據，建立關于
的回歸方程；
（3）若旋轉的弧度數與單位時間內煤氣輸出量
成正比，那么為多少時燒開一壺水最省煤氣？
附：對于一組數據
，…，
，其回歸直線
的斜率和截距的最小二乘估計分別為
，
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
（
為參數），曲線
的參數方程為
（
為參數）.
（1）求曲線，的普通方程；
（2）已知點
，若曲線，交于
，
兩點，求
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，已知
、
分別為橢圓
的左、右焦點，直線
過點且垂直于橢圓的長軸，動直線
垂直于直線于點
，線段
的中垂線交于點
.記點的軌跡為曲線
.
（1）求曲線的方程，并說明是什么曲線；
（2）若直線
與曲線交于兩點
、
，則在圓
上是否存在兩點
、
，使得
，
？若存在，請求出
的取值范圍；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】平面內與兩定點
，
連線的斜率之積等于
的點的軌跡，加上
、
兩點所成的曲線為
.若曲線與
軸的正半軸的交點為
，且曲線上的相異兩點
、
滿足
.
（1）求曲線的軌跡方程；
（2）求
面積
的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
.
（1）求函數
的圖象在
（
為自然對數的底數）處的切線方程；
（2）若對任意的
，均有
，則稱
為
在區間
上的下界函數，為在區間上的上界函數.
①若
，求證：
為在
上的上界函數；
②若
，為在
上的下界函數，求實數
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知拋物線E：
（
）與圓O：
相交于A，B兩點，且
.過劣弧
上的動點
作圓O的切線交拋物線E于C，D兩點，分別以C，D為切點作拋物線E的切線
，
，相交于點M.
（1）求拋物線E的方程；
（2）求點M到直線
距離的最大值.
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