Question

已知函數．
（Ⅰ）求函數g（x）的極大值．
（Ⅱ）求證：存在x∈（1，+∞），使；
（Ⅲ）對于函數f（x）與h（x）定義域內的任意實數x，若存在常數k，b，使得f（x）≤kx+b和h（x）≥kx+b都成立，則稱直線y=kx+b為函數f（x）與h（x）的分界線．試探究函數f（x）與h（x）是否存在“分界線”？若存在，請給予證明，并求出k，b的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求導函數，確定函數的單調性，即可求函數g（x）的極大值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知g（x）在（0，1）內單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減，構造新函數，利用零點存在定理，即可證得結論；
（Ⅲ）構造新函數，求導數，確定函數的單調性，可得函數f（x）與h（x）的圖象在處有公共點（），設f（x）與h（x）存在“分界線”且方程為，構造函數，確定函數的單調性，即可求得結論．
解答：（Ⅰ）解：．…（1分）
令g′（x）＞0，解得0＜x＜1；令g′（x）＜0，解得x＞1．…（2分）
∴函數g（x）在（0，1）內單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減．…（3分）
所以g（x）的極大值為g（1）=-2．…（4分）
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知g（x）在（0，1）內單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減，
令，∴，…（5分）
取x′=e＞1，則=．…（6分）
故存在x∈（1，e），使φ（x）=0，即存在x∈（1，+∞），使．…（7分）
（說明：x′的取法不唯一，只要滿足x′＞1，且φ（x′）＜0即可）
（Ⅲ）解：設，則
則當時，F′（x）＜0，函數F（x）單調遞減；當時，F′（x）＞0，函數F（x）單調遞增．
∴是函數F（x）的極小值點，也是最小值點，
∴．
∴函數f（x）與h（x）的圖象在處有公共點（）．…（9分）
設f（x）與h（x）存在“分界線”且方程為，
令函數
①由h（x）≥u（x），得在x∈R上恒成立，
即在x∈R上恒成立，
∴，
即，
∴，故．…（11分）
②下面說明：f（x）≤u（x），
即恒成立．
設
則
∵當時，V′（x）＞0，函數V（x）單調遞增，
當時，V′（x）＜0，函數V（x）單調遞減，
∴當時，V（x）取得最大值0，V（x）≤V（x）_max=0．
∴成立．…（13分）
綜合①②知，且，
故函數f（x）與h（x）存在“分界線”，
此時．…（14分）
點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與極值，考查函數的最值，考查分類討論的數學思想，難度較大．