Question

19、已知命題p：關于x的不等式x²+（a-1）x+1≤0的解集為空集φ；命題q：函數y=（a-1）^x為增函數，若命題p∧q為假命題，p∨q為真命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：根據題意得命題p、q有且僅有一個為真命題，分別討論“p真q假”與“p假q真”即可得出實數a的取值范圍．

解答：解：命題p：關于x的不等式x²+（a-1）x+1≤0的解集為空集φ，
所以（a-1）²-4＜0，即a²-2a-3＜0，（2分）
所以-1＜a＜3，（3分）
則p為假命題時：a≤-1或a≥3；（4分）
由命題q：函數y=（a-1）^x為增函數，
所以a-1＞1，所以a＞2，（5分）
則q為假命題時：a≤2；（6分）
命題p∧q為假命題，p∨q為真命題，所以p、q中一真一假，（8分）
若p真q假，則-1＜a≤2，（9分）
若p假q真，則a≥3，（11分）
所以實數a的取值范圍為-1＜a≤2或a≥3．（12分）

點評：本題考查了命題真假的判斷與應用，屬于中檔題，解題時注意分類討論思想的應用．