Question

（2012•浦東新區二模）若雙曲線C₁：

x2

a 2 1

-

y2

b 2 1

=1（a₁＞0，b₁＞0）和雙曲線C₂：

x2

a 2 2

-

y2

b 2 2

=1（a₂＞0，b₂＞0）的焦點相同，且a₁＞a₂．給出下列四個結論：①

a

2 1

-

a

2 2

=

b

2 2

-

b

2 1

；②

a1

a2

＞

b2

b1

；③b₁＜b₂；④a₁+a₂＞b₁+b₂；其中所有正確的結論序號是（　�。�

A．①②

B．①③

C．②③

D．①④

Answer 1

分析：先利用焦距相同，證明①正確，進而結合a₁＞a₂證明③正確，最后利用舉反例的方法說明②④錯誤即可

解答：解：∵兩曲線的焦點相同，故焦距相同，∴

a

2 1

+

b

2 1

=

a

2 2

+b

2 2

，即

a

2 1

-

a

2 2

=

b

2 2

-

b

2 1

，故①正確；
∵a₁＞a₂＞0，∴

a

2 1

-

a

2 2

=

b

2 2

-

b

2 1

＞0，∴

b

2 2

＞

b

2 1

，即b₁＜b₂；③正確
若a₁=

3

，a₂=

2

，b₁=1，b₂=

2

，則

a1

a2

＜

b2

b1

，故②錯誤；
∵

a

2 1

-

a

2 2

=

b

2 2

-

b

2 1

，∴（a₁+a₂）（a₁-a₂）=（b₁+b₂）（b₂-b₁），
∵a₁＞a₂且b₁＜b₂，∴

a1+a2

b1+b2

=

b2-b1

a1-a2

，
若a₁=2，a₂=1，b₁=1，b₂=2，則a₁+a₂=b₁+b₂；故④錯誤
故選B

點評：本小題主要考查橢圓的簡單性質、橢圓的標準方程、不等式的性質等基礎知識，考查運算求解能力，考查轉化思想．屬于基礎題．