Question

已知A、B是球O表面上兩點(diǎn)，AB=8．過AB作兩個平面α、β，使球心O在平面α上，且O到平面β的距離為2．如果二面角α-AB-β=60°，那么A、B兩點(diǎn)的球面距離為（ ）
A．2π
B．π
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：由已知中A、B是球O表面上兩點(diǎn)，AB=8．過AB作兩個平面α、β，使球心O在平面α上，作OO₁⊥β，O₁為垂足，取AB中點(diǎn)C，連接OC，O₁C，易得∠O₁CO是二面角α-AB-β的平面角，結(jié)合已知中，O到平面β的距離為2，二面角α-AB-β=60°，我們易求出球的半徑，易弦AB的球心角，代入弧長公式，即可求出答案．
解答：解：作OO₁⊥β，O₁為垂足，取AB中點(diǎn)C，連接OC，O₁C，
則OC⊥AB，O₁C⊥AB，
∠O₁CO是二面角α-AB-β的平面角，
所以∠O₁CO=60°．
在Rt△OO₁C中，
∵O到平面β的距離為2．
∴OO₁=2，OC=4．
連接OA、OB，由OC=AC=BC=4得∠AOB=．
又球的半徑OA=4，所以A、B兩點(diǎn)間的球面距離為4×=2π
故選A
點(diǎn)評：本題考查球的截面及性質(zhì)，球面距離，二面角等知識，考查學(xué)生的空間想象能力．求球面上兩點(diǎn)間的球面距離時，必須先 找出這兩點(diǎn)對球心所張的圓心角．