Question

（本小題滿分13分）設函數，其中為正整數.
（Ⅰ）判斷函數的單調性，并就的情形證明你的結論；
（Ⅱ）證明：；
（Ⅲ）對于任意給定的正整數，求函數的最大值和最小值.

Answer 1

(Ⅰ)函數在上單調遞增(Ⅱ)略 （Ⅲ）的最大值為，最小值為.

：（1）在上均為單調遞增的函數. 1分
對于函數，設 ，則
，
，
函數在上單調遞增.  3分
（2） 原式左邊  

.… 5分
又原式右邊.
 .    6分
（3）當時，函數在上單調遞增，
 的最大值為，最小值為.
當時，， 函數的最大、最小值均為1.
當時，函數在上為單調遞增.
 的最大值為，最小值為.
當時，函數在上單調遞減，
 的最大值為，最小值為.  … 9分
下面討論正整數的情形：
當為奇數時，對任意且
 ，
以及 ，
 ，從而 .
 在上為單調遞增，則
的最大值為，最小值為.                    …… 11分
當為偶數時，一方面有 .
另一方面，由于對任意正整數，有
，
.
 函數的最大值為，最小值為.     
綜上所述，當為奇數時，函數的最大值為，最小值為.
當為偶數時，函數的最大值為，最小值為. …… 13分