Question

已知函數f（x）是（-∞，+∞）上的偶函數，若對于x≥0，都有f（x+2）=-f（x），且當x∈[0，2）時，f（x）=log（x+1），則f（-2001）+f（2012）（　　）

A．1+log₂3

B．-1+log₂3

C．-1

D．1

Answer 1

分析：由f（x+2）=-f（x）變形得到f（x+4）=f（x），說明當x≥0時函數是以4為周期的周期函數，運用周期函數的概念和函數是偶函數把要求的函數值轉化為求[0，2）內的函數值．

解答：解：當x≥0，有f（x+2）=-f（x），所以f（x+4）=f[（x+2）+2]=-f（x+2）=-[-f（x）]=f（x），
所以當x≥0時，f（x）是以4為周期的周期函數，所以f（2012）=f（503×4+0）=f（0）=log₂（0+1）=0．
又函數f（x）是（-∞，+∞）上的偶函數，所以f（-2001）=f（2001）=f（500×4+1）=f（1）=log₂（1+1）=1．
所以f（-2001）+f（2012）=1．
故選D．

點評：本題考查了對數的運算性質，考查了函數的奇偶性，考查了數學轉化思想，解答此題的關鍵是運用函數的周期性進行轉化，此題為中低檔題．