Question

如圖，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面是邊長為1的菱形，側棱長為2．
（1）B₁D₁與A₁D能否垂直？請證明你的判斷；
（2）當∠A₁B₁C₁在上變化時，求異面直線AC₁與A₁B₁所成角的取值范圍．

Answer 1

解：∵菱形A₁B₁C₁D₁中，A₁C₁⊥B₁D₁于O₁，
設AC∩BD=O，分別以O₁B₁，O₁C₁，O₁O所在直線為x，y，z軸，
建立空間直角坐標系，設B₁（a，0，0），C₁（0，b，0）（a²+b²=1），
則D₁（-a，0，0），A₁（0，-b，0），D（-a，0，2）
（1）∵，
∴
∴B₁D₁與A₁D不能垂直．
（2）∵∠A₁B₁C₁∈，∴，
∵A（0，-b，2）∴，
，
，
∴
∵a²+b²=1，∴設a=cosα，b=sinα，又，
∴
∴
=
=
∵2≤csc²α≤4，∴
∴直線AC₁與A₁B₁所成角的取值范圍是．
分析：AC∩BD=O，分別以O₁B₁，O₁C₁，O₁O所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，（1）求出，計算說明不垂直；
（2）當∠A₁B₁C₁在上變化時，求求出，然后求，即可求異面直線AC₁與A₁B₁所成角的取值范圍．
點評：本題考查用向量證明垂直，異面直線及其所成的角，考查學生計算能力，是中檔題．