Question

（2008•鹽城一模）如果有窮數列a₁，a₂，a₃，…，a_n（n為正整數）滿足條件a₁=a_n，a₂=a_n-1，…，a_n=a₁，即a_i=a_n-i+1（i=1，2，…，n），我們稱其為“對稱數列”．例如，由組合數組成的數列

C

0 m

， 

C

1 m

， …， 

C

m m

就是“對稱數列”．
（1）設{b_n}是項數為7的“對稱數列”，其中b₁，b₂，b₃，b₄是等差數列，且b₁=2，b₄=11．依次寫出{b_n}的每一項；
（2）設{c_n}是項數為2k-1（正整數k＞1）的“對稱數列”，其中c_k，c_k+1，…，c_2k-1是首項為50，公差為-4的等差數列．記{c_n}各項的和為S_2k-1．當k為何值時，S_2k-1取得最大值？并求出S_2k-1的最大值；
（3）對于確定的正整數m＞1，寫出所有項數不超過2m的“對稱數列”，使得1，2，2²，…，2^m-1依次是該數列中連續的項；當m＞1500時，求其中一個“對稱數列”前2008項的和S₂₀₀₈．

Answer 1

分析：（1）設{b_n}的公差為d，依題意，可求得d，從而可得{b_n}的每一項；
（2）利用等差數列的求和公式可求得c_k+c_k+1+…+c_2k-1=-2k²+52k，從而可得S_2k-1=2（c_k+c_k+1+…+c_2k-1）-c_k=-4（k-13）²+4×13²-50，從而可得答案；
（3）依題意，可寫出所有項數不超過2m的“對稱數列”，依次求得每個“對稱數列”前2008項的和即可．

解答：解：（1）設{b_n}的公差為d，則b₄=b₁+3d=2+3d=11，解得 d=3，
∴數列{b_n}為2，5，8，11，8，5，2．
（2）∵c_k，c_k+1，…，c_2k-1是首項為50，公差為-4的等差數列，
∴c_k+c_k+1+…+c_2k-1=50k+

k(k-1)×(-4)

2

=-2（k²-k）+50k，
∴S_2k-1=c₁+c₂+…+c_k-1+c_k+c_k+1+…+c_2k-1
=2（c_k+c_k+1+…+c_2k-1）-c_k
=-4（k²-k）+100k-50
=-4（k-13）²+4×13²-50，
∴當k=13時，S_2k-1取得最大值．S_2k-1的最大值為626．
（3）所有可能的“對稱數列”是：
①1，2，2²，…，2^m-2，2^m-1，2^m-2，…，2²，2，1；
②1，2，2²，…，2^m-2，2^m-1，2^m-1，2^m-2，…，2²，2，1；
③2^m-1，2^m-2，…，2²，2，1，2，2²，…，2^m-2，2^m-1；
④2^m-1，2^m-2，…，2²，2，1，1，2，2²，…，2^m-2，2^m-1．
對于①，當m≥2008時，S₂₀₀₈=1+2+2²+…+2²⁰⁰⁷=2²⁰⁰⁸-1；
當1500＜m≤2007時，S₂₀₀₈=1+2+2²+…+2^m-2+2^m-1+2^m-2+…+2^2m-2009
=2^m-1+2^m-1-2^2m-2009
=2^m+2^m-1-2^2m-2009-1．
對于②，當m≥2008時，S₂₀₀₈=2²⁰⁰⁸-1．
當1500＜m≤2007時，S₂₀₀₈=2^m+1-2^2m-2008-1．
對于③，當m≥2008時，S₂₀₀₈=2^m-2^m-2008．
當1500＜m≤2007時，S₂₀₀₈=2^m+2^2009-m-3．
對于④，當m≥2008時，S₂₀₀₈=2^m-2^m-2008．
當1500＜m≤2007時，S₂₀₀₈=2^m+2^2008-m-2．

點評：本題考查數列的求和，突出考查等差數列的求和公式，考查抽象思維與邏輯思維、綜合分析與運算能力，屬于難題．