Question

如圖所示，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AD=2，E、F、G分別為PC、PD、BC的中點．
（Ⅰ）求證：PA∥平面EFG；
（Ⅱ）求三棱錐P-EFG的體積．

Answer 1

分析：（I）取AD的中點H，連接GH，FH，說明PA不在平面EFG，FH在平面EFG，證明PA平行平面EFG內的直線FH即可證明PA∥平面EFG；
（II）利用轉化法VP-EFG=VG-PEF=

1

3

S△PEF•GC，求出底面面積和高，求三棱錐P-EFG的體積．

解答：解（I）：如圖，取AD的中點H，連接GH，FH，
∵E，F分別為PC，PD的中點，∴EF∥CD．
∵G，H分別為BC，AD的中點，
∴GH∥CD．∴EF∥GH．∴E，F，H，G四點共面．（4分）
∵F，H分別為DP，DA的中點，
∴PA∥FH．
∵PA不在平面EFG，FH?平面EFG，
∴PA∥平面EFG．（6分）
（II）解：∵PD⊥平面ABCD，GC?平面ABCD，
∴GC⊥PD．
∵ABCD為正方形，∴GC⊥CD．∵PD∩CD=D，
∴GC⊥平面PCD．（8分）
∵PF=

1

2

PD=1，EF=

1

2

CD=1，
∴S△PEF=

1

2

EF×PF=

1

2

．
∵GC=

1

2

BC=1，
∴VP-EFG=VG-PEF=

1

3

S△PEF•GC=

1

3

×

1

2

×1=

1

6

（12分）

點評：本題考查直線與平面平行的判定，棱柱、棱錐、棱臺的體積，考查計算能力，是中檔題．