Question

圓M的方程為x²+y²-4Rxcosα-4Rysinα+3R²=0(R＞0).

(1)求該圓圓心M的坐標以及圓M的半徑；

(2)當R固定，α變化時，求圓心M的軌跡，并證明此時不論α取什么值，所有的圓M都外切于一個定圓.

Answer 1

思路分析：本題中所給的圓方程中的變數有多個，此時要結合題意分清究竟哪個是真正在變，而像這樣的具體題目尤其容易犯弄不清真正的參數的錯誤.

解：(1)由題意得圓M的方程為(x-2Rcosα)²+(y-2Rsinα)²=R²，

故圓心為M(2Rcosα,2Rsinα)，半徑為R.

(2)當α變化時，圓心M的軌跡方程為(其中α為參數).兩式平方相加,得x²+y²=4R².所以圓心M的軌跡是圓心在原點，半徑為2R的圓.

由于=2R=3R-R，=2R=R+R,

所以所有的圓M都和定圓x²+y²=R²外切，和定圓x²+y²=9R²內切.