Question

如圖，在三棱錐Ｐ－ABC中, AB="AC=4," D、E、F分別為PA、PC、BC的中點, BE="3," 平面PBC⊥平面ABC, BE⊥DF.

（Ⅰ）求證：BE⊥平面PAF；
（Ⅱ）求直線AB與平面PAF所成的角.

Answer 1

（1）要證明線面垂直關鍵是對于AF⊥BC垂直的證明，以及平面PBC⊥平面ABC的證明，來得到。
（2）AB與平面PAF所成的角為30⁰.

試題分析：解：（Ⅰ）證明：連結AF, ∵  AB="AC," F為BC的中點,
∴  AF⊥BC, ………………（ 1 分）
又平面PBC⊥平面ABC, 且平面PBC平面ABC于BC,
∴  AF⊥平面PBC. （  2 分）
又∵  BE平面PBC,
∴  AF⊥BE. （ 5 分）
又∵BE⊥DF, DF,
∴  BE⊥平面PAF. （ 5 分）
（Ⅱ）設BEPF="H," 連AH, 由(1)可知AH為AB在平面PAF上的射影,
所以∠HAB為直線AB與平面PAF所成的角.         （  7分）
∵ E 、F分別為PC、BC的中點,
∴H為△PBC的重心, 又BE=3,
∴BH=                        （  9 分）
在Rt△ABH中,              （  10 分）
∴AB與平面PAF所成的角為30⁰.                  （12分）
點評：解決的關鍵是利用空間中點線面的位置關系來得到證明，以及結合線面角的定義來的得到求解，屬于基礎題。