Question

已知△ABC的三個內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，向量m＝(sinA，1)，n＝(1，－cosA)，且m⊥n．

（1）求角A；

（2）若b＋c＝a，求sin(B＋)的值．

Answer 1

解：（1）因為m⊥n，所以m·n＝0，即sinA－cosA＝0．………………………2分

所以sinA＝cosA，得tanA＝．…………………………………………………………4分

又因為0＜A＜π，所以A＝．………………………………………………………………6分

（2）（解法1）因為b＋c＝a，由正弦定理得sinB＋sinC＝sinA＝．………………8分

因為B＋C＝，所以sinB＋sin(－B)＝．………………………………………………10分

化簡得sinB＋cosB＝，…………………………………………………………………12分

從而sinB＋cosB＝，即sin(B＋)＝．……………………………………………14分

（解法2）由余弦定理可得b²＋c²－a²＝2bccosA，即b²＋c²－a²＝bc  ①．……………8分

又因為b＋c＝a  ②，

聯立①②，消去a得2b²－5bc＋2c²＝0，即b＝2c或c＝2b．……………………………10分

若b＝2c，則a＝c，可得B＝；若c＝2b，則a＝b，可得B＝．………………12分

所以sin(B＋)＝．…………………………………………………………………………14分