Question

已知二次函數y=f₁（x）的圖象以原點為頂點且過點（1，1），反比例函數y=f₂（x）的圖象與直線y=x的兩個交點間距離為8，f（x）=f₁（x）+f₂（x）。
（1）求函數f（x）的表達式；
（2）證明：當a>3時，關于x的方程f（x）=f（a）有三個實數解。

Answer 1

解：（1）由已知，設f₁（x）=ax²，
由f₁（1）=1，得a=1，
∴f₁（x）= x²
設f₂（x）=（k>0），
它的圖象與直線y=x的交點分別為A（，）B（-，-）
由=8，得k=8
∴f₂（x）=
故f（x）=x²+。
（2）f（x）=f（a），得x²+=a²+， 即=-x²+a²+
在同一坐標系內作出f₂（x）=和f₃（x）=-x²+a²+ 的大致圖象，
其中f₂（x）的圖象是以坐標軸為漸近線，且位于第一、三象限的雙曲線，
f₃（x）與的圖象是以（0，a²+）為頂點，開口向下的拋物線
因此，f₂（x）與f₃（x）的圖象在第三象限有一個交點，即f（x）=f（a）有一個負數解
又∵f₂（2）=4，f₃（2）= -4+a²+
當a>3時，f₃（2）-f₂（2）=a²+-8>0，
∴當a>3時，在第一象限f₃（x）的圖象上存在一點（2，f（2））在f₂（x）圖象的上方
∴f₂（x）與f3（x）的圖象在第一象限有兩個交點，即f（x）=f（a）有兩個正數解
因此，方程f（x）=f（a）有三個實數解。