在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=1，D在棱BB₁上，且BD=1，若AD與平面AA₁C₁C所成的角為α，則sinα=

A.
$數(shù)學公式$
B.
$數(shù)學公式$
C.
$數(shù)學公式$
D.
$數(shù)學公式$

D
分析：要求AD與平面AA₁C₁C所成的角，關(guān)鍵是找出AD在平面AA₁C₁C內(nèi)的射影，利用正三棱柱的性質(zhì)可得到線面角，解直角三角形求出此角的正弦值．
解答：如圖，分別取C₁A₁、CA的中點E、F，連接B₁E與BF，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱
∴B₁E⊥平面CAA₁C₁，

過D作DH∥B₁E，則DH⊥平面CAA₁C₁，
連接AH，則∠DAH為所求的AD與平面AA₁C₁C所成的角
∵AB=1，D在棱BB₁上，且BD=1
∴DH=B₁E= $\text{[math]}$ ，DA= $\text{[math]}$ ，
所以sin∠DAH= $\text{[math]}$ ；
故選D．
點評：本題以正三棱柱為載體，考查線面角，關(guān)鍵是找出AD在平面AA₁C₁C內(nèi)的射影．

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（1）求證：B₁C∥平面A₁BD；
（2）求證：平面A₁BD⊥平面ACC₁A₁；
（3）求二面角A-A₁B-D的余弦值．

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如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，所有棱的長度都是1，M是BC邊的中點，P是AA₁邊上的點，且PA=

．
（1）求：點P到棱BC的距離；
（2）問：在側(cè)棱CC₁上是否存在點N，使得異面直線AB₁與MN所成角為45°？若存在，請說明點N的位置；若不存在，請說明理由；
（3）定義：如果平面α經(jīng)過線段AA′的中點，并與線段AA′垂直，則稱點A關(guān)于平面α的對稱點為點A′．設點A關(guān)于平面PBC的對稱點為A′，求：點A′到平面AMC₁的距離．

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