Question

已知函數f（x）的定義域是（0，+∞），若對于x₁、x₂∈（0，+∞），都有

x1-x2

f(x1)-f(x2)

＜0且滿足f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1，
（1）求f（8）
（2）求解不等式：f（x）-f（x-2）＞3．

Answer 1

分析：（1）令x=2，y=2，代入f（xy）=f（x）+f（y）即可求得f（4），再令x=2，y=4，代入f（xy）=f（x）+f（y）即可求得f（8）；
（2）利用恒等式和（1）的結果，將f（x）-f（x-2）＞3轉化為“f（a）＞f（b）”的形式，再利用函數的單調性即可求解．

解答：解：（1）令x=2，y=2，代入f（xy）=f（x）+f（y），
∴f（4）=f（2）+f（2）=2，
再令x=2，y=4，代入f（xy）=f（x）+f（y），
∴f（8）=f（2）+f（4）=3，
∴f（8）=3．
（2）不等式f（x）-f（x-2）＞3，即f（x）＞f（x-2）+3，即f（x）＞f（x-2）+f（8），
∵f（xy）=f（x）+f（y），
∴f（x-2）+f（8）=f（8x-16），
又對于x₁、x₂∈（0，+∞），都有

x1-x2

f(x1)-f(x2)

＜0，
∴函數f（x）在∈（0，+∞）上單調遞減，
由f（x）＞f（8x-16）得，

x＞0 x-2＞0 x＜8x-16

，
解得，x＞

16

7

，
∴不等式的解集為{x|x＞

16

7

}．

點評：本題考查抽象函數及其單調性的運用，解答的關鍵是根據所給的性質f（xy）=f（x）+f（y）對不等式進行轉化，本題考查了轉化化歸的思想，有一定的綜合性．屬于中檔題．