Question

已知在等差數列{a_n}中，a₃=4前7項和等于35，數列{b_n}中，點（b_n，s_n）在直線x+2y-2=0上，其中s_n是數列{b_n}的前n項和（n∈N^*）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）求證：數列{b_n}是等比數列；
（3）設c_n=a_n•b_n•T_n為數列{c_n}的前n項和，求T_n并證明；

4

3

≤T_n＜

5

2

．

Answer 1

分析：（1）假設數列{a_n}的首項與公差為d，利用a₃=4，前7項和等于35，可建立方程組，從而可求數列{a_n}的通項公式；
（2）根據點（b_n．s_n）在直線x+2y-2=0上，可得b_n+2s_n-2=0，再寫一式b_n-1+2s_n-1-2=0（n≥2），作差化簡可得b_n=

1

3

b_n-1（n≥2），從而可知數列{b_n}是等比數列；
（3）由（2）知，b_n=

2

3

•（

1

3

）^n-1=

2

3n

，從而c_n=a_n•b_n=（n+1）•

2

3n

，T_n=

2×2

3

+

2×3

32

+

2×4

33

+…+

2(n+1)

3n

，同乘

1

3

1

3

T_n=

2×2

32

+

2×3

33

+

2×4

34

+…+

2n

3n

+

2(n+1)

3n+1

，作差，進而可求T_n從而可證

4

3

≤T_n＜

5

2

．

解答：解：（1）設數列{a_n}的公差為d，則由題意知：

a1+2d=4 7a1+ 7×6 2 d=35

得

a1=2 d=1

∴a_n=a₁+（n-1）d=2+n-1=n+1…（3分）
（2）∵點（b_n．s_n）在直線x+2y-2=0上
∴b_n+2s_n-2=0----①，b_n-1+2s_n-1-2=0（n≥2）-----②
①-②得b_n-b_n-1+2b_n=0，∴b_n=

1

3

b_n-1（n≥2），…（6分）
又當n=1時，b₁=-

1

2

b₁+1∴b1=

2

3

≠0
∴數列{b_n}是以

2

3

為首項，

1

3

為公比的等比數列．…（9分）
（3）由（2）知，b_n=

2

3

•（

1

3

）^n-1=

2

3n

，
∴c_n=a_n•b_n=（n+1）•

2

3n

T_n=

2×2

3

+

2×3

32

+

2×4

33

+…+

2(n+1)

3n

-----------③

1

3

T_n=

2×2

32

+

2×3

33

+

2×4

34

+…+

2n

3n

+

2(n+1)

3n+1

------④
③-④得，

2

3

T_n=

2×2

3

+

2

32

+

2

33

+…+

2

3n

-

2(n+1)

3n+1

∴T_n=2+

1

3

+

1

32

+

1

33

+…+

1

3n-1

-

(n+1)

3n

=2+

1 3 (1- 1 3n-1 )

1- 1 3

-

n+1

3n

=2+

1

2

(1-

1

3n-1

）-

n+1

3n

=

5

2

-

2n+5

2×3n

  …（14分）
T_n=

5

2

-

2n+5

2×3n

＜

5

2

由③知T_n的最小值是T₁=

4

3

∴

4

3

≤T_n＜

5

2

…（16分）

點評：本題以等差數列為載體，考查等差數列的通項與前n項和，考查等比數列，考查錯位相減法求和．