【題目】已知函數
.
（1）討論
的單調性；
（2）若有兩個極值點
，證明：
.
【答案】(1) 當
時， 
在
上單調遞增;
在
上單調遞減；
時， 在
上單調遞增；當
時，在
上單調遞減; 在
上單調遞增.
(2)見解析.
【解析】分析：（1）由
，分別討論當時，或討論導函數的正負從而可得函數的單調性；
（2）由（1）知，且
為方程
的兩個根，由根與系數的關系
，其中
，可化簡
，令
，進而求導求最值即可證得.
詳解：（1） 
.
令
，
，對稱軸為
.
①當
時，
，所以在上單調遞增.
②當或時，
.此時，方程兩根分別為
，
.
當時，
，當
時，
，當
，
，所以在
上單調遞增， 在
上單調遞減.
當時，
，當
時，，當
，， 所以在
上單調遞減， 在
上單調遞增.
綜上，當時， 在上單調遞增;
在上單調遞減；時， 在上單調遞增；當時，在上單調遞減; 在
上單調遞增.
（2）由（1）知，且為方程的兩個根.
由根與系數的關系，其中.
于是
.
令，
，
所以在
在
上單調遞減，且
.
∴
，即
，
又
，
.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
，
，
.
（Ⅰ）若
，求
的極值；
（Ⅱ）若函數
的兩個零點為
，記
，證明：
．
【答案】（Ⅰ）極大值為
，無極小值；（Ⅱ）證明見解析.
【解析】分析：（Ⅰ）先判斷函數在
上的單調性，然后可得當
時，有極大值，無極小值．（Ⅱ）不妨設
，由題意可得
，即
，又由條件得
，構造
，令
，則
，利用導數可得
，故得
，又
，所以
．
詳解：（Ⅰ）
，
，
由
得，
且當
時，
，即在
上單調遞增，
當
時，
，即在
上單調遞減，
∴當時，有極大值，且
，無極小值．
（Ⅱ）
函數的兩個零點為，不妨設，
，
．
，
即，
又
，，
，
．
令，則
，
在
上單調遞減，
故，
，
即，
又，
．
點睛：（1）研究方程根的情況，可以通過導數研究函數的單調性、最大（小）值、函數的變化趨勢等，根據題目要求，畫出函數圖象的大體圖象，然后通過數形結合的思想去分析問題，可以使得問題的求解有一個清晰、直觀的整體展現．
（2）證明不等式時常采取構造函數的方法，然后通過判斷函數的單調性，借助函數的最值進行證明．
【題型】解答題
【結束】
22
【題目】在平面直角坐標系
中，直線
的參數方程為
（
為參數，
）．以坐標原點
為極點，以
軸正半軸為極軸，建立極坐標系，已知曲線
的極坐標方程為：
．
（Ⅰ）求直線的普通方程與曲線的直角坐標方程；
（Ⅱ）設直線與曲線交于不同的兩點
，若
，求
的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
， 
，（其中
， 
為自然對數的底數， 
……）.
（1）令
，若
對任意的
恒成立，求實數
的值；
（2）在（1）的條件下，設
為整數，且對于任意正整數
， 
，求
的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】算籌是在珠算發明以前我國獨創并且有效的計算工具，為我國古代數學的發展做出了很大貢獻.在算籌計數法中，以“縱式”和“橫式”兩種方式來表示數字，如圖：
表示多位數時，個位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，以此類推，遇零則置空，如圖：
如果把5根算籌以適當的方式全部放入 下面的表格中，那么可以表示的三位數的個數為（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某校在學年期末舉行“我最喜歡的文化課”評選活動，投票規則是一人一票，高一（1）班44名學生和高一（7）班45名學生的投票結果如下表（無廢票）：
語文 | 數學 | 外語 | 物理 | 化學 | 生物 | 政治 | 歷史 | 地理 | |
高一（1）班 | 6 | 9 | 7 | 5 | 4 | 5 | 3 | 3 | 2 |
高一（7）班 |
| 6 |
| 4 | 5 | 6 | 5 | 2 | 3 |
該校把上表的數據作為樣本，把兩個班同一學科的得票之和定義為該年級該學科的“好感指數”.
（Ⅰ）如果數學學科的“好感指數”比高一年級其他文化課都高，求
的所有取值；
（Ⅱ）從高一（1）班投票給政治、歷史、地理的學生中任意選取
位同學，設隨機變量
為投票給地理學科的人數，求的分布列和期望；
（Ⅲ）當為何值時，高一年級的語文、數學、外語三科的“好感指數”的方差最小?（結論不要求證明）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】新高考
最大的特點就是取消文理分科，除語文、數學、外語之外，從物理、化學、生物、政治、歷史、地理這
科中自由選擇三門科目作為選考科目．某研究機構為了了解學生對全文（選擇政治、歷史、地理）的選擇是否與性別有關，從某學校高一年級的1000名學生中隨機抽取男生，女生各
人進行模擬選科．經統計，選擇全文的人數比不選全文的人數少
人．
（1）估計在男生中，選擇全文的概率.
（2）請完成下面的
列聯表；并估計有多大把握認為選擇全文與性別有關，并說明理由；
附：
，其中
．
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