Question

已知數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，a₁=2，公比q＞0，且a₂，6，a₃成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=log₂a_n，Tn=

1

b1b2

+

1

b2b3

+

1

b3b4

+…+

1

bnbn+1

，求使Tn＜

6

7

的n的值．

Answer 1

分析：（1）由a₂，6，a₃成等差數(shù)列，知12=a₂+a₃，由{a_n}為等比數(shù)列，且a₁=2，故12=2q+2q²，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由bn=log22n=n，知bnbn+1=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，由此利用裂項(xiàng)求和法能夠求出由Tn＞

15

16

的n的取值．

解答：解：（1）由a₂，6，a₃成等差數(shù)列，
得12=a₂+a₃…（2分）
又{a_n}為等比數(shù)列，且a₁=2，
故12=2q+2q²…（3分）
解得q=2，或q=-3，
又q＞0…（5分），
∴q=2，
∴an=2•2n-1=2n…（7分）
（2）∵bn=log22n=n，
∴bnbn+1=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

…（10分）
∴Tn=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

) =1-

1

n+1

…（12分）
故由Tn＞

15

16

，
得n＜6，又n∈N^*
∴n的取值為1，2，3，4，5．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列與不等式的綜合，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．