Question

已知向量

a

=（-cosx，sinx），

b

=（cosx，

3

cosx），函數f（x）=

a

•

b

，x∈[0，π]
（I）求函數f（x）的最大值；
（II）當函數f（x）取得最大值時，求向量

a

與

b

夾角的大小．

Answer 1

分析：（I）利用向量數量積的坐標表示及輔助角公式求解f（x）=sin(2x-

π

6

)-

1

2

，結合已知x的范圍可求函數的最大值
（II）設向量

a

與

b

的夾角為α，由（I）可知x的值，代入向量夾角公式可求cosα，進而可求夾角α

解答：解：（I）f(x)=

a

•

b

=-cos2x+

3

sinxcosx
=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-

1

2

=sin(2x-

π

6

)-

1

2

∵x∈[0，π]當x=

π

3

時f(x)max=1-

1

2

=

1

2

（II）此時x=

π

3

設向量

a

與

b

的夾角為α，則cosα=

a • b

| a || b |

=

1

4cosx

=

1

2

所以向量

a

與

b

的夾角為

π

3

點評：（I）輔助角公式的應用是解決此類問題的關鍵，可以把不同名的三角函數化簡為y=Asin（ωx+φ），結合正弦函數的性質可求相應的量；（II）在利用夾角公式求解向量的夾角時要注意夾角的范圍[0，π]