Question

（本小題滿分15分）已知, 是平面上一動點, 到直線上的射影為點，且滿足

(1) 求點的軌跡的方程;

(2) 過點作曲線的兩條弦, 設所在直線的斜率分別為, 當變化且滿足時，證明直線恒過定點，并求出該定點坐標。

 

Answer 1

【答案】

解： (1)y²=4x,

 (2)直線AB經過(5,-6)這個定點.

【解析】本試題主要是考查了軌跡方程的求解，以及直線與圓錐曲線的位置關系的綜合運用。

（1）因為, 是平面上一動點, 到直線上的射影為點，且滿足設出點的坐標，借助于向量關系式得到其軌跡的方程;

(2) 根據過點作曲線的兩條弦, 設所在直線的斜率分別為, 當變化且滿足時，

因此由題意可知直線AB的斜率存在且不為零, 可設AB的方程為,

并設A(x₁,y₁),B(x₂,y₂).聯立: 

借助于韋達定理，和直線斜率的關系，可以證明直線恒過定點，并求出該定點坐標。

解： (1)設曲線C上任意一點P(x,y), 又F(1,0)，N(－1,y),從而

,,

化簡得y²=4x, 即為所求的P點的軌跡C的對應的方程. ………………6分

 (2) 解法一：由題意可知直線AB的斜率存在且不為零, 可設AB的方程為,

并設A(x₁,y₁),B(x₂,y₂).聯立: 

代入整理得   從而有y₁＋y₂=4m ①, ②……………8分

又 ,

又y₁²=4x₁,y₂²=4x₂, ∴ ………………11分

Þ ,

展開即得y₁y₂+6(y₁+y₂)+20=0

將①②代入得,

得, AB: x =my+6m+5, ………………14分

故直線AB經過(5,-6)這個定點.. ………………15分

解法二：設A(x₁,y₁),B(x₂,y₂).

設MA: y=k₁(x-1),與y²=4x聯立，得k₁y²-4y-4k₁+8=0，則①，

同理②

AB:即③

由①②:y₁+y₂=

代入③，整理得恒成立

則 故直線AB經過(5,-6)這個定點.. ………………15分