Question

（2012•許昌二模）已知函數f(x)=

x

x+2

(x＞0)．如下定義一列函數：f₁（x）=f（x），f₂（x）=f（f₁（x）），f₃（x）=f（f₂（x）），…，f_n（x）=f（f_n-1（x）），…，n∈N^*，那么由歸納推理可得函數f_n（x）的解析式是f_n（x）=

x

(2n-1)x+2n

．

Answer 1

分析：分別計算出f₁（x），f₂（x），f₃（x），…，分析不等式的構成，尋找規律，進行歸納．

解答：解：∵函數f(x)=

x

x+2

(x＞0)，
f₁（x）=f（x）=

x

x+2

，
f₂（x）=f（f₁（x））=

x

3x+4

，
f₃（x）=f（f₂（x））=

x

7x+8

，
f₄（x）=f（f₃（x））=

x

15x+16

，
…
所給的函數式的分子不變都是x，
而分母是由兩部分的和組成，
第一部分的系數分別是1，3，7，15…2ⁿ-1，
第二部分的數分別是2，4，8，16…2ⁿ
∴f_n（x）=f（f_n-1（x））=

x

(2n-1)x+2n

故答案為：

x

(2n-1)x+2n

．

點評：本題考查歸納推理，實際上可看作給出一個數列的前幾項寫出數列的通項公式．