Question

已知△ABC中，O為外心，H為垂心，AH=1，BH=

2

，BC=

3

，

OH

=

OA

+

OB

+

OC

，則S_△AOB：S_△BOC：S_△AOC=（　　）

• A．1：

  2

  ：

  3

• B．1：

  3

  ：2
• C．

  2

  ：

  3

  ：1
• D．

  2

  ：1：

  3

Answer 1

分析：過點O作垂線OD交BC與點D，并延長使得OE=2OD，根據

OH

=

OA

+

OB

+

OC

可得

OH

=

OA

+

OE

則四邊形OAHE為平行四邊形，從而可求出OB的長和S_△BOC，然后根據

OH

-

OB

=

BH

=

OA

+

OC

，兩邊平方可求出∠AOC，從而可求出S_△AOC，根據∠AOB=360°-∠BOC-∠AOC，可求出S_△AOB，即可求出所求．

解答：解：過點O作垂線OD交BC與點D，并延長使得OE=2OD
∵

OH

=

OA

+

OB

+

OC

，
∴

OH

=

OA

+

OE

則四邊形OAHE為平行四邊形
則AH=OE=1即OD=

1

2

OE=

1

2

∵BC=

3

∴S_△BOC=

1

2

×

3

×

1

2

=

3

4

∵OD=

1

2

，BD=

3

2

∴OA=OB=OC=1
∵

OH

=

OA

+

OB

+

OC

，
∴

OH

-

OB

=

BH

=

OA

+

OC

則|

BH

|2=|

OA

+

OC

|2即2=1+1+2cos∠AOC
∴∠AOC=90°
而S_△BOC=

3

4

=

1

2

sin∠BOC
則∠BOC=120°，∠AOB=360°-90°-120°=150°
∴S_△AOB=

1

2

sin∠AOB=

1

2

×

1

2

=

1

4

S_△AOC=

1

2

sin∠AOC=

1

2

×1=

1

2

∴S_△AOB：S_△BOC：S_△AOC=

1

4

：

3

4

：

1

2

=1：

3

：2
故選B．

點評：本題主要考查了平面向量及應用，以及三角形的垂心和外心，同時考查了運算求解的能力，屬于難題．