Question

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，E，F，G為 AB，AA₁，A₁C₁的中點，則B₁F 與面GEF成角的正弦值（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：利用等體積，計算B₁到平面EFG距離，再利用正弦函數，可求B₁F 與面GEF成角的正弦值．
解答：解：設正三棱柱的，取A₁B₁中點M，連接EM，則EM∥AA₁，EM⊥平面ABC，連接GM
∵G為A₁C₁的中點，棱長為
∴GM=B₁C₁=1，A₁G═A₁F=1，FG=，FE=，GE=
在平面EFG上作FN⊥GE，則∵△GFE是等腰三角形，∴FN=，
∴S_△GEF=GE×FN=，
S_△EFB1=S_{正方形ABB1A1}-S_△A1B1F-S_△BB1E-S_△AFE=，
作GH⊥A₁B₁，GH=，
∴V_{三棱錐G-FEB1}=S_△EFB1×GH=，
設B₁到平面EFG距離為h，則V_{三棱錐B1-EFG}=S_△GEF=，
∵V_{三棱錐G-FEB1}=V_{三棱錐B1-EFG}，
∴，
∴h=
設B₁F與平面GEF成角為θ，
∵B₁F=
∴sinθ==
∴B₁F與面GEF所成的角的正弦值為．
故選A．
點評：本題考查線面角，考查三棱錐的體積計算，考查轉化思想，解題的關鍵是利用等體積計算點到面的距離．