Question

已知實數a滿足a≤-1，函數f（x）=e^x（x²+ax+1）．
（1）當a=-3時，求f（x）的極小值；
（2）若g（x）=2x³+3（b+1）x²+6bx+6（b∈R）的極小值點與f（x）的極小值點相同，證明：g（x）的極大值大于等于7．

Answer 1

分析：（1）將a=-3代入到解析式中，并求導．令f′（x）=0，求出極值點，并列表判斷極大值極小值點．
（2）一方面，利用（1）的結論，找出f（x）的極小值點-a-1，即為g（x）的極小值點．另一方面，對g（x）求導，求出極小值點．再建立等式，即b=a+1，得到a，b的關系式．由a的范圍算出極大值g（-1）的范圍，從而得證．

解答：解：（1）當a=-3時，f（x）=e^x（x²-3x+1）．
f′（x）=e^x（x²-3x+1）+e^x（2x-3）
=e^x（x²-x-2），
令f′（x）=0得x²-x-2=0
f′（x）=x²-x+2=（x+1）（x-2）．
列表如下：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調遞增	極大值	單調遞減	極小值	單調遞增

所以，f（x）的極小值為f（2）=-e²．
（2）f′（x）=e^x（x²+ax+1）+e^x（2x+a）
=e^x[x²+（a+2）x+（a+1）]，
令f′（x）=0得x²+（a+2）x+（a+1）=（x+1）（x+a+1）=0，由于實數a滿足a≤-1，
所以f（x）的極小值點x=-（a+1），則g（x）的極小值點也為x=-（a+1），
而g（x）=2x³+3（b+1）x²+6bx+6，g′（x）=6x²+6（b+1）x+6b=6（x+1）（x+b），
所以a+1=b，
即b=a+1．
又因為a≤-1，∴b≤0
所以g（x）_極大值=g（-1）=-2+3（b+1）-6b+6=-3b+7≥7．
故g（x）的極大值大于等于7．

點評：在高中階段，導數是研究函數性質的重要而有效的工具之一，包括函數的單調性，極值，最值等，本題就是利用導函數研究函數的極值．近兩年的高考題中，對導數部分的考查是越來越常見，其重要性也不言而喻．