Question

圖1是某種稱為“凹槽”的機(jī)械部件的示意圖，圖2是凹槽的橫截面（陰影部分）示意圖，其中四邊形ABCD是矩形，弧CmD是半圓，凹槽的橫截面的周長為4．已知凹槽的強(qiáng)度與橫截面的面積成正比，比例系數(shù)為，設(shè)AB=2x，BC=y．

（1）寫出y關(guān)于x函數(shù)表達(dá)式，并指出x的取值范圍；
（2）求當(dāng)x取何值時(shí)，凹槽的強(qiáng)度最大．

Answer 1

【答案】分析：（1）由“其中四邊形ABCD是矩形，弧CmD是半圓，凹槽的橫截面的周長為4”建立模型，再根據(jù)四邊形ABCD是矩形求得定義域．
（2）先求得橫斷面的面積，再由“凹槽的強(qiáng)度與橫截面的面積成正比，比例系數(shù)為”建立模型，再用二次函數(shù)法求得最值．
解答：解：（1）易知半圓CmD的半徑為x，故半圓CmD的弧長為πx．
所以4=2x+2y+πx，（2分）
得（3分）
依題意知：0＜x＜y
得
所以，（）．（6分）

（2）依題意，設(shè)凹槽的強(qiáng)度為T，橫截面的面積為S，則有
（8分）
=
=
=．（11分）
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023213853205431410/SYS201310232138532054314017_DA/9.png">，
所以，當(dāng)時(shí)，凹槽的強(qiáng)度最大．（13分）
答：當(dāng)時(shí)，凹槽的強(qiáng)度最大．（14分）
點(diǎn)評：本題主要考查數(shù)學(xué)建模型和解模型的能力，主要涉及了平面圖形的周長，面積及在實(shí)際問題中模型的意義．