Question

圓臺的側面積是它在內切球表面積的倍，則圓臺母線和底面所成角的大小是

[　　]

A．30°

B．45°

C．60°

D．75°

Answer 1

答案：C
解析：

首先畫出圓臺及其內切球的軸截面，如圖． 　　設圓臺上、下底面圓的半徑分別為r、R(R＞r)，內切球的半徑為x． 　　則依題意及幾何關系可得AF＝AE＝r，DE＝DG＝R， 　　AD＝AE＋ED＝r＋R， 　　圓錐的母線l＝R＋r． 　　在△BHC中，由勾股定理得BH2＋HC2＝BC2， 　　即(R＋r)2＝(R－r)2＋(2x)2． 　　又由圓臺的側面積是它的內切球表面積的倍， 　　即π(R＋r)l＝·4πx2． 　　于是R＋r＝x，x2＝Rr． 　　∴(R－r)2＝(R＋r)2－4Rr＝(R＋r)2－4()2(R＋r)2＝(R＋r)2． 　　∴． 　　∴cos∠BCH＝ 　　∴∠BCH＝60° 　　即圓臺母線和底面所成角為60°．