Question

某企業生產一種產品時，固定成本為5 000元，而每生產100臺產品時直接消耗成本要增加2500元，市場對此商品年需求量為500臺，銷售的收入函數為R（x）=5x-

1

2

x2（萬元）（0≤x≤5），其中x是產品售出的數量（單位：百臺）
（1）把利潤表示為年產量的函數；
（2）年產量多少時，企業所得的利潤最大．

Answer 1

分析：（1）利潤y是指生產數量x的產品售出后的總收入R（x）與其總成本C（x）之差，而總成本C（x）=固定成本（5000）+生產消耗成本（每生產100臺產品時直接消耗成本要增加2500元）；
（2）分段求和函數的最大值，比較可得企業所得的利潤最大

解答：解：（1）利潤y是指生產數量x的產品售出后的總收入R（x）與其總成本C（x）之差，
由題意，當x≤5時，產品能全部售出，利潤y=5x-

1

2

x2-(0.5+0.25x)
當x＞5時，只能銷售500臺，利潤y=(5×5-

1

2

×52)-(0.5+0.25x)
∴y=

5x-0.5x2-(0.5+0.25x)     0≤x≤5 (5×5-0.5×52)-(0.5+0.25x)  x＞5

=

4.75x-0.5x2-0.5，0≤x≤5 12-0.25x，x＞5

…（6分）
（2）在0≤x≤5時，y=-

1

2

x²+4.75x-0.5，…（8分）
當x=-

b

2a

=4.75時，y_max=10.781 25；    …（10分）
當x＞5 百臺時，y＜12-0.25×5=10.75，…（11分）
∴當生產4.75百臺即475臺時，利潤最大．  …（12分）

點評：本題考查根據實際問題抽象函數模型的能力，并能根據模型的解決，指導實際生活中的決策問題，屬中檔題．