Question

設函數f（x）=

2011 x+1+2010

2011 x+1

+sinx   x∈[-

π

2

，

π

2

]的最大值為M，最小值為N，那么M+N=

4021

．

Answer 1

分析：先把函數f（x）=

2011 x+1+2010

2011 x+1

+sinx變形為f（x）=2011-

1

2011x+1

+sinx，判斷函數的單調性，根據函數在定義域上為增函數以及函數的定義域就可求出函數的最大值與最小值，進而求出最大值與最小值之和．

解答：解：函數f（x）=

2011 x+1+2010

2011 x+1

+sinx=

2011×2011x+2010

2011 x+1

+sinx=

2011×(2011x+1)-1

2011 x+1

+sinx
=2011-

1

2011x+1

+sinx
∵y=2011^x在x∈[-

π

2

，

π

2

]上為增函數，∴y=

1

2011x+1

在x∈[-

π

2

，

π

2

]上為減函數
∴y=-

1

2011x+1

在x∈[-

π

2

，

π

2

]上為增函數，
而y=sinx在x∈[-

π

2

，

π

2

]上也為增函數
∴f（x）=2011-

1

2011x+1

+sinx在x∈[-

π

2

，

π

2

]上為增函數
∴M=f（

π

2

），N=f（-

π

2

）
∴M+N=f（

π

2

）+f（-

π

2

）=4022-

1

2011 π 2 +1

-

1

2011- π 2 +1

=4022-（

1

2011 π 2 +1

+

2011 π 2

2011 π 2 +1

）=4021
故答案為 4021

點評：本題主要考查了利用函數的單調性求函數的最大值與最小值，關鍵是把函數化簡成可以判斷單調性的形式．