Question

已知向量

a

=（sinx，cosx），

b

=（cosx，-2cosx），-

π

4

＜x＜

π

2

．
（Ⅰ）若

a

∥

b

，求x；
（Ⅱ）設f（x）=

a

•

b

，求f（x）的單調減區間；
（Ⅲ）函數f（x）經過平移后所得的圖象對應的函數是否能成為奇函數？如果是，說出平移方案；如果否，說明理由．

Answer 1

分析：（I）利用兩個向量共線的性質求得 tan2x=-1，再由-

π

4

＜x＜

π

2

求得x的值．
（II）利用兩個向量的數量積公式 化簡 f（x）的解析式為

2

sin（2x-

π

4

）-1，令 2kπ+

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得x的范圍，即可求得函數的減區間．
（Ⅲ）將函數f（x）的圖象向上平移1個單位，再向左平移

π

8

+kπ（ k∈N） 個單位，或向右平移

7π

8

+kπ（ k∈N） 個單位即可．

解答：解：（I）若

a

∥

b

，則 sinx（sinx-2cosx）=cos²x，…（1分）
即-sin2x=cos2x，∴tan2x=-1．-----（2分）
又∵-

π

4

＜x＜

π

2

，∴-

π

2

＜2 x＜π，
∴2x=-

π

4

，或  2x=

3π

4

，即 x=-

π

8

 或 x=

3π

8

．--------（4分）
（II）∴f（x）=

a

•

b

=2sinxcosx-2cos²x=sin2x-cos2x=

2

sin（2x-

π

4

）-1，…（7分）
令 2kπ+

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，解得kπ+

3π

8

≤x≤kπ+

7π

8

．
又

π

4

＜x＜

π

2

，
∴f（x）的單調減區間時（-

π

4

，-

π

8

）、（

3π

8

，

π

2

）．…（11分）
（Ⅲ）能，將函數f（x）的圖象向上平移1個單位，再向左平移

π

8

+kπ（ k∈N） 個單位，或向右平移

7π

8

+kπ（ k∈N） 個單位，
即得函數 g（x）=

2

sin2x的圖象，而 g（x）為奇函數．…（13分）

點評：本題主要考查兩個向量共線的性質、兩個向量的數量積公式，兩角和差的正弦公式，函數y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規律，屬于中檔題．