Question

二次函數f（x）=ax²+（2a-1）x+1在區間[-

3

2

，2]的最大值為3，則實數a=（　　）

• A．±

  1

  2

• B．±

  1

  2

  或-

  2

  3

• C．-

  1

  2

  或-

  2

  3

• D．

  1

  2

  或-

  2

  3

Answer 1

分析：由給出的函數是二次函數知，a≠0，然后分a＞0和a＜0兩類情況討論，對每一種情況根據對稱軸的范圍確定函數的單調性，利用單調性求出最大值，由最大值等于3列式求解實數a的值．

解答：解：∵函數f（x）=ax²+（2a-1）x+1是二次函數，∴a≠0．
若a＞0時，其對稱軸方程為x=-

2a-1

2a

=-1+

1

2a

＞-1．
當-1+

1

2a

≤

1

4

，即a≥

2

5

時，
f（x）_max=f（2）=4a+2（2a-1）+1=8a-1，
由8a-1=3，得a=

1

2

；
當-1+

1

2a

＞

1

4

，即a＜

2

5

時，
f(x)max=f(-

3

2

)=

9

4

a-

3

2

(2a-1)+1=-

3

4

a+

5

2

．
由-

3

4

a+

5

2

=3，得a=-

2

3

（舍）．
若a＜0，其對稱軸方程為x=-

2a-1

2a

=-1+

1

2a

＜-1．
當-1+

1

2a

＞-

3

2

，即a＜-1時，
f(x)max=f(-1+

1

2a

)=-a2-a-

1

4a

+2．
由-a2-a-

1

4a

+2=3可知，次方程在a＜-1時無解；
當-1+

1

2a

≤-

3

2

，即-1≤a＜0時，
f(x)max=f(-

3

2

)=-

3

4

a+

5

2

．
由-

3

4

a+

5

2

=3，得a=-

2

3

．
綜上，使二次函數f（x）=ax²+（2a-1）x+1在區間[-

3

2

，2]上的最大值為3的實數a等于

1

2

或-

2

3

．
故選：D．

點評：本題考查了二次函數在閉區間上的最值，考查了分類討論的數學思想方法，解答的關鍵是分類要正確，屬中檔題．