Question

設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，f(x)=

x

，若存在x∈[t²-1，t]，使不等式f（2x+t）≥2f（x）成立，則實數(shù)t的取值范圍是．

（

1- 5

2

，

1+ 17

4

）

．

Answer 1

分析：由當(dāng)x≥0時，f（x）=x²，函數(shù)是奇函數(shù)，可得當(dāng)x＜0時，f（x）=-x²，從而f（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，且滿足3f（x）=f（ x），再根據(jù)不等式f（x+t）≥3f（x）=f（ x）在[t，t+3]恒成立，可得x+t≥x在[t，t+3]恒成立，即可得出答案．

解答：解：當(dāng)x≥0時，f(x)=

x

，
∵函數(shù)是奇函數(shù)∴當(dāng)x＜0時，f(x)=-

x

．
∴f（x）=

x ，x≥0 - x ，x＜0

，
∴f（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，且滿足f（2x+t）≥2f（x）．
∵不等式f（2x+t）≥2f（x）=f（4x）在[t²-1，t]恒成立，
∴2x+t≥4x在[t²-1，t]恒成立，即：t≥2x，在[t²-1，t]恒成立，
∴t≥2t²-2且t≥t²-1，∴

1- 5

2

≤t≤

1+ 17

4

，
故答案為：（

1- 5

2

，

1+ 17

4

）．

點評：本題考查了函數(shù)恒成立問題及函數(shù)的奇偶性，難度適中，關(guān)鍵是掌握函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性．