Question

已知函數，，其中．
(1)若是函數的極值點，求實數的值；
(2)若對任意的（為自然對數的底數）都有≥成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

(1) (2)

試題分析：(1)先求導，根據題意 (2)可將問題轉化為≥，分別求導令導數大于0、小于0得單調性，用單調性求最值。在解導數大于0或小于0的過程中注意對的討論。
試題解析：(1)解法1：∵，其定義域為，
∴．  ∵是函數的極值點，∴，即．
∵，∴．  經檢驗當時，是函數的極值點，∴．、
解法2：∵，其定義域為，
∴．  令，即，整理，得．
∵，
∴的兩個實根（舍去），，
當變化時，，的變化情況如下表：

依題意，，即，∵，∴．
(2)對任意的都有≥成立等價于對任意的都有≥．當［1，］時，．
∴函數在上是增函數．∴．
∵，且，．
①當且［1，］時，，
∴函數在［1，］上是增函數，
∴.由≥，得≥，又，∴不合題意．
②當1≤≤時，
若1≤＜，則，若＜≤，則．
∴函數在上是減函數，在上是增函數．
∴.
由≥，得≥，又1≤≤，∴≤≤．
③當且［1，］時，，
∴函數在上是減函數．
∴.由≥，得≥，
又，∴．
綜上所述，的取值范圍為．