Question

設函數f(x)=

a

•

b

-

3

2

，

a

=(3sin(ωx+φ)，

3

sin(ωx+φ))，

b

=(sin(ωx+φ)，cos(ωx+φ))其周期為π，且x=

π

12

是它的一條對稱軸．
（1）求f（x）的解析式；
（2）當x∈[0，

π

4

]時，不等式f（x）+a＞0恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用向量的坐標運算及三角函數中的恒等變換可求得函數f（x）的周期為π，從而可求得ω，再由x=

π

12

為其一條對稱軸可求得φ，于是可得f（x）的解析式；
（2）由x∈[0，

π

4

]可求得

π

3

≤2x+

π

3

≤

5π

6

，從而可求得f（x）=

3

sin（2x+

π

3

）的取值范圍，由f（x）+a＞0恒成立，即可求得a的取值范圍．

解答：解：（1）f（x）=

a

•

b

-

3

2

…（2分）
=3（sin（ωx+φ），

3

sin（ωx+φ））•（sin（ωx+φ），cos（ωx+φ））-

3

2

=3sin²（ωx+φ）+

3

sin（ωx+φ）•cos（ωx+φ）-

3

2

=

3

[

1

2

sin2（ωx+φ）-

3

2

cos2（ωx+φ）]
=

3

sin（2ωx+2φ-

π

3

）…（5分）
∵函數f（x）的周期為π，
∵ω=1…（6分）
又∵x=

π

12

為其一條對稱軸，
∴2×

π

12

+2φ-

π

3

=

π

2

+kπ（k∈Z），
∴0＜φ＜

π

2

故φ=

π

3

…（7分）
∴f（x）=

3

sin（2x+

π

3

）…（8分），
（2）∵x∈[0，

π

4

]，
∴

π

3

≤2x+

π

3

≤

5π

6

…（9分）
∴f（x）=

3

sin（2x+

π

3

）的最小值為

3

2

…（10分）
由f（x）+a＞0恒成立，得a＞-

3

2

…（11分）
所以a的取值范圍為（-

3

2

，+∞）…（12分）

點評：本題考查向量的坐標運算及三角函數中的恒等變換，考查函數解析式的確定，考查正弦函數的性質，突出化歸思想與邏輯思維能力的考查，屬于難題．